Likningssett

Et likningssett er noe som du kanskje har møtt på skolen allerede. Av og til er matematikkoppgaver med likningssett gitt som tekstoppgaver av typen:

“Pers Byggevarer har to forskjellige typer planker. “xtrem planke”og “ypperlig plank”.

Åshild går til Pers byggevarer og kjøper fem “xtrem” planker og en “ypperlig plank”. Hun betaler 187 kroner.

Knut går til Pers byggevarer og kjøper tre “xtrem” planker og seks “ypperlig plank”. Han betaler 258 kroner.

Hvor mye koster hver planke?”

Ellers er det gitt som rene matematikkoppgaver, uten så mye tekst. For eksempel:

5x + y = 187
3x + 6y = 258
Løs for x og y

Disse to oppgavene er helt ekvivalente. Det vil si, dette er samme oppgave skrevet på to måter.

Hvordan løser man et likningssett?
Det viktige å huske er at x og y er de samme variablene i begge linjene. Dette gjelder også hvis det er flere variabler og flere linjer. Det vi må gjøre er da å prøve å “isolere” en variabel, altså få en variabel alene på en side av likhetstegnet.

5x + y = 187 
y = 187 – 5x    (trekker fra 5x på begge sider av likningen og får y alene)

Nå kan vi putte denne y-en inn i den andre likningen.

3x + 6y = 258 
3x + 6(187 – 5x) = 258  (her setter vi inn y-en vi fant over)

Og nå har vi en likning med kun 1 variabel, og det klarer vi å løse.

3x + 6(187 – 5x) = 258 
3x + 6*187 – 6*5x = 258  (ganger ut parantes)
3x + 1122 – 30x = 258 
-27x = 258-1122   (ganger med -1 her)
27x = 864  (så deler vi på 27)
x= 32

Og når vi først har funnet x, setter vi den enkelt inn i den første linjen av likningssettet:

y = 187 – 5x 
y = 187 – 5*32 = 27

Så svaret er altså at en “xtrem” planke koster 32 kroner, og en “ypperlig” planke koster 27. Denne metoden fungerer for å finne løsning på alle ligningssett. Det finnes også andre metoder, men i vi holder oss kun til en akkurat nå.

Har alle likningssett en løsning?
Nei. Noen likningssett er uløselig, og noen har ikke det vi kaller et “entydig svar”. Et eksempel på et uløselig likningssett kan være:

x + y = 2
2x + 2y = 0

Hvis du forsøker å løse dette (prøv gjerne), så vil du plutselig få at 4=0, og da har ikke likningssettet noen løsning.

Et likningssett som ikke har en “entydig løsning” oppstår gjerne når en linje i likningssettet er et multiplum av en annen linje. For eksempel:

2x + y = 5
6x + 3y = 15

Hvis du forsøker å løse dette (og prøv gjerne det), så får du at 0=0. Det føles ikke som at det hjelper oss, men det er ikke feil, og det finnes verdier av x og y som løser dette. Uendelig mange faktisk. Hvis du får en oppgave som dette, så kan du svare: “Alle verdier av x som tilfredsstiller y = 5-2x er løsninger.”

Generelt så er regelen: Hvis du har k variabler (der k kan være 0,1,2,…,100,...) som du skal løse for, så trenger du k (samme k som i sted) likninger, der ingen av likningene er mulitipler av hverandre, for å få en entydig løsning.

Under ligger noen oppgaver i forskjellig vanskelighetsgrad som du kan prøve. Alle svar er hele tall. Lykke til!

Helt til slutt: Du har kanskje lurt på hvorfor bildet til denne artikkelen er et slags “Matrix”-bilde? Det er fordi at en “Matrix”, eller “matrise” som vi kaller det på norsk, er et likningssett! Men det kan vi snakke mer om i en annen artikkel en annen gang.